1. Číselné soustavy a převody, odůvodnění použití různých soustav v číslicové technice

• Popište číselné soustavy používané pro práci v digitální technice
• Popište a na příkladech aplikujte převody čísel mezi různými číselnými soustavami
• Popište zápis záporného a desetinného čísla v binární soustavě
• Popište principy součtu a rozdílu dvou binárních čísel

Číselné soustavy v digitální technice

Číselné soustavy slouží k reprezentaci čísel. Každá soustava je definována svým základem, což je počet unikátních symbolů (číslic), které soustava používá. V číslicové technice se běžně využívají tři základní soustavy: desítková, dvojková a šestnáctková. Každá z těchto soustav má své specifické využití.

Desítková soustava (decimální, základ 10)

Desítková soustava je nejznámější a nejpoužívanější číselná soustava, kterou lidé využívají v běžném životě. Má základ 10 a používá číslice 0 až 9. Každá číslice v čísle má určitou váhu, která je dána její pozicí.

Příklad: Číslo $345$ lze zapsat jako: $345=3\cdot 10^2+4\cdot 10^1+5\cdot 10^0$

Tato soustava se využívá pro komunikaci číselných hodnot, protože je přirozená pro člověka. V číslicové technice se desítková soustava používá pro zadávání dat a prezentaci výsledků uživatelům.

Dvojková soustava (binární, základ 2)

Dvojková soustava používá pouze dvě číslice: 0 a 1. Je základem číslicové techniky, protože logické obvody ve výpočetních zařízeních pracují se dvěma stavy: vypnuto (0) a zapnuto (1).

Příklad: Číslo $1011_2$ v dvojkové soustavě lze zapsat jako: $1011_2=1\cdot 2^3+0\cdot 2^2+1\cdot 2^1+1\cdot 2^0=8+0+2+1=11_{10}$ Binární soustava se využívá:

• v počítačích a číslicových obvodech
• při kódování dat
• pro zpracování logických operací.

Šestnáctková soustava (hexadecimální, základ 16)

Šestnáctková soustava používá číslice 0–9 a písmena A–F, kde: $A=10,B=11,C=12,D=13,E=14,F=15A=10,B=11,C=12,D=13,E=14,F=15$ Tato soustava je kompaktnější než dvojková a používá se k čitelnějšímu zápisu dlouhých binárních čísel.

Příklad: Číslo $2F_{16}$ lze zapsat jako: $2F_{16}=2\cdot 16^1+F\cdot 16^0=32+15=47_{10}$ Šestnáctková soustava se využívá:

• při adresování paměti v počítačích
• v programování (např. zápis barvy v RGB: FF00FFFF00FF)
• při ladění softwaru.

---

Převody mezi číselnými soustavami

Převody mezi soustavami jsou důležité pro porozumění a efektivní práci s čísly v číslicové technice. Následují konkrétní příklady převodů:

1. Z dvojkové do desítkové
   Číslo $1011_2$: $1011_2=1\cdot 2^3+0\cdot 2^2+1\cdot 2^1+1\cdot 2^0=11_{10}$
2. Z desítkové do dvojkové
   Číslo $19_{10}$:
   • Dělíme základem 2: $19÷2=9zbytek1$ $9÷2=4zbytek1$ $4÷2=2zbytek0$ $2÷2=1zbytek0$ $1÷2=0zbytek1$ Výsledkem je: $19_{10}=10011_2$.
3. Z dvojkové do šestnáctkové
   Číslo $10110101_2$:
   • Rozdělíme číslo na skupiny po 4 bitech: 1011 01011011 , 0101.
   • Převedeme každou skupinu na šestnáctkové číslo: $1011_2=B_{16},0101_2=5_{16}$ $V\acute{y}sledkemje:10110101_2=B{5}_{16}.$
4. Ze šestnáctkové do desítkové
   Číslo $2F_{16}$: $2F_{16}=2\cdot 16^1+F\cdot 16^0=32+15=47_{10}$

---

Zápis záporných čísel v binární soustavě

• Záporná čísla se v binární soustavě zapisují pomocí dvoukomplementového kódu. Tento způsob umožňuje snadné provádění aritmetických operací.
• Postup:
  1. Najdeme binární reprezentaci kladného čísla.
  2. Inverzujeme všechny bity (0 → 1, 1 → 0).
  3. Přičteme 11.

Příklad: Zápis čísla −5-5 v 8 bitech:

• Kladné číslo: $5=0000010125=00000101_2$.
• Inverze: $11111010_2$.
• Přičteme $11:1111010_2+1=11111011_2$ Výsledkem je: $-5_{10}=11111011_2$.

---

Zápis desetinných čísel v binární soustavě

Desetinná čísla se v binární soustavě zapisují pomocí záporných exponentů mocnin základu 2. Příklad: Číslo $10.625_{10}$

• Celá část: $10_{10}=1010_2$.
• Desetinná část:$0.625\cdot 2=1.25(1)0.625\cdot 2=1.25(1)0.25\cdot 2=0.5(0)0.25\cdot 2=0.5(0)0.5\cdot 2=1.0(1)0.5\cdot 2=1.0(1)$ Výsledkem je: $10.625_{10}=1010.101_2$.

---

Popište principy součtu a rozdílu dvou binárních čísel

princip součtu a rozdílu

⚠ Switch to EXCALIDRAW VIEW in the MORE OPTIONS menu of this document. ⚠ You can decompress Drawing data with the command palette: ‘Decompress current Excalidraw file’. For more info check in plugin settings under ‘Saving’

Excalidraw Data

Text Elements

10111001 +00010101

11001110

+1

+1

+1

10111001 00010101

10111101

Součet

Bitový součet (OR)

Součin

Bitový součin (AND)

000110011 000000011

00011001 00011001

001001011

00011001 00000011

00000001

25

x3

75

185

21

206

OR

AND

Rozdíl

10111001

• (+00010101)

---

10111001 +11101011

110100100

185

-21

164

Negace 11101010 11101011

+1

Link to original