11. Číselné soustavy a převody, odůvodnění použití aplikací různých soustav v číslicové technice

Popište číselné soustavy používané pro práci v digitální technice
Popište a na příkladech aplikujte převody čísel mezi různými číselnými soustavami
Popište zápis záporného a desetinného čísla v binární soustavě

Číselné soustavy v digitální technice

Číselné soustavy slouží k reprezentaci čísel. Každá soustava je definována svým základem, což je počet unikátních symbolů (číslic), které soustava používá. V číslicové technice se běžně využívají tři základní soustavy: desítková, dvojková a šestnáctková. Každá z těchto soustav má své specifické využití.

Desítková soustava (decimální, základ 10)

Desítková soustava je nejznámější a nejpoužívanější číselná soustava, kterou lidé využívají v běžném životě. Má základ 10 a používá číslice 0 až 9. Každá číslice v čísle má určitou váhu, která je dána její pozicí.

Příklad: Číslo 345345 lze zapsat jako: $345 = 3 \cdot 102 + 4 \cdot 101 + 5 \cdot 100345 = 3 \cdot 1 0^{2} + 4 \cdot 1 0^{1} + 5 \cdot 1 0^{0}$

Tato soustava se využívá pro komunikaci číselných hodnot, protože je přirozená pro člověka. V číslicové technice se desítková soustava používá pro zadávání dat a prezentaci výsledků uživatelům.

Dvojková soustava (binární, základ 2)

Dvojková soustava používá pouze dvě číslice: 0 a 1. Je základem číslicové techniky, protože logické obvody ve výpočetních zařízeních pracují se dvěma stavy: vypnuto (0) a zapnuto (1).

Příklad: Číslo $10112101 1_{2}$ v dvojkové soustavě lze zapsat jako: $10112 = 1 \cdot 23 + 0 \cdot 22 + 1 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 8 + 0 + 2 + 1 = 1110101 1_{2} = 1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} = 8 + 0 + 2 + 1 = 1 1_{10}$ Binární soustava se využívá:

v počítačích a číslicových obvodech,
při kódování dat,
pro zpracování logických operací.

Šestnáctková soustava (hexadecimální, základ 16)

Šestnáctková soustava používá číslice 0–9 a písmena A–F, kde: $A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15 A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15$ Tato soustava je kompaktnější než dvojková a používá se k čitelnějšímu zápisu dlouhých binárních čísel.

Příklad: Číslo 2F162F_{16} lze zapsat jako: $2 F 16 = 2 \cdot 161 + F \cdot 160 = 32 + 15 = 47102 F_{16} = 2 \cdot 1 6^{1} + F \cdot 1 6^{0} = 32 + 15 = 4 7_{10}$ Šestnáctková soustava se využívá:

při adresování paměti v počítačích,
v programování (např. zápis barvy v RGB: FF00FFFF00FF),
při ladění softwaru.

Převody mezi číselnými soustavami

Převody mezi soustavami jsou důležité pro porozumění a efektivní práci s čísly v číslicové technice. Následují konkrétní příklady převodů:

Z dvojkové do desítkové
Číslo $10112101 1_{2}$ : $10112 = 1 \cdot 23 + 0 \cdot 22 + 1 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 1110101 1_{2} = 1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} = 1 1_{10}$
Z desítkové do dvojkové
Číslo $19101 9_{10}$ :
- Dělíme základem 2: $19 \div 2 = 9 z b y t e k 1$ $9 \div 2 = 4 z b y t e k 1$ $4 \div 2 = 2 z b y t e k 0$ $2 \div 2 = 1 z b y t e k 0$ $1 \div 2 = 0 z b y t e k 1$ Výsledkem je: $1910 = 1001121 9_{10} = 1001 1_{2}$ .
Z dvojkové do šestnáctkové
Číslo $1011010121011010 1_{2}$ :
- Rozdělíme číslo na skupiny po 4 bitech: 1011 01011011 , 0101.
- Převedeme každou skupinu na šestnáctkové číslo: $10112 = B 16, 01012 = 516101 1_{2} = B_{16}, 010 1_{2} = 5_{16}$ $V \overset{y}{ˊ} s l e d k e mj e : 101101012 = B 5161011010 1_{2} = B 5_{16} .$
Ze šestnáctkové do desítkové
Číslo $2 F 162 F_{16}$ : $2 F 16 = 2 \cdot 161 + F \cdot 160 = 32 + 15 = 47102 F_{16} = 2 \cdot 1 6^{1} + F \cdot 1 6^{0} = 32 + 15 = 4 7_{10}$

Zápis záporných čísel v binární soustavě

Záporná čísla se v binární soustavě zapisují pomocí dvoukomplementového kódu. Tento způsob umožňuje snadné provádění aritmetických operací.
Postup:
1. Najdeme binární reprezentaci kladného čísla.
2. Inverzujeme všechny bity (0 → 1, 1 → 0).
3. Přičteme 11.

Příklad: Zápis čísla −5-5 v 8 bitech:

Kladné číslo: $5 = 0000010125 = 0000010 1_{2}$ .
Inverze: $1111101021111101 0_{2}$ .
Přičteme $11 : 111110102 + 1 = 1111101121111101 0_{2} + 1 = 1111101 1_{2}$ Výsledkem je: $- 5 = 111110112 - 5 = 1111101 1_{2}$ .

Zápis desetinných čísel v binární soustavě

Desetinná čísla se v binární soustavě zapisují pomocí záporných exponentů mocnin základu 2. Příklad: Číslo $10.6251010.62 5_{10}$ :

Celá část: $1010 = 101021 0_{10} = 101 0_{2}$ .
Desetinná část: $0.625 \cdot 2 = 1.25 (1) 0.625 \cdot 2 = 1.25 (1) 0.25 \cdot 2 = 0.5 (0) 0.25 \cdot 2 = 0.5 (0) 0.5 \cdot 2 = 1.0 (1) 0.5 \cdot 2 = 1.0 (1)$ Výsledkem je: $10.62510 = 1010.101210.62 5_{10} = 1010.10 1_{2}$ .

Maturitní otázky

Explorer